Верно: пол Северной Америки.
Правильно: Северная и Южная Америка.
Корректно: Могучий Дуб, Сидящий на Реке. В именах все слова, кроме служебных, следует писать с прописной буквы, дефисы ставить не следует, ср.: Петушок со Шпорами (герой сказок), Людвиг ван Бетховен, Леонардо да Винчи.
Верно: Северная и Южная Америка.
Это сочетание как географический термин должно писаться с большой буквы: Северная Калифорния.
Склоняются обе части прозвища.
Правильно: Северная столица.